Una función real de variable real es toda correspondencia
mathrm{f}
mathrm{f}
que asocia a cada elemento
x
x
de un subconjunto no vacio
D
D
de
R
R
un único número real. La expresamos como:


mathrm{f}: D subset R longrightarrow R
mathrm{f}: D subset R longrightarrow R

x longrightarrow y , = , mathrm{f} left( , x  , right)
x longrightarrow y , = , mathrm{f} left( , x , right)

x
x
es la variable independiente e
y
y
la variable dependiente.


Al conjunto,
D
D
, de valores que toma la variable independiente
x
x
se le llama dominio de la función.


Al conjunto de valores que toma la variable dependiente
y
y
se le llama recorrido de la función.


Una función se define explicitamente si viene dada como
y , = , mathrm{f} left( , x  , right)
y , = , mathrm{f} left( , x , right)
, es decir, si la variable dependiente,
y
y
, está despejada.


Una función se define implícitamente si viene dada en la forma
mathrm{f}left(</p><pre> , x, , y ,</pre><p>right), = , 0
mathrm{f}left(</p><pre> , x, , y ,</pre><p>right), = , 0
, esto es, si la función se define mediante una expresión algebraica igualada a cero.


Ejemplo

La función
y , = , cos left( , x  , right)
y , = , cos left( , x , right)
está expresada en forma explícita.


La función
log y , - , x , = , 0
log y , - , x , = , 0
está expresada en forma implícita.

Gráfica

La gráfica de una función
mathrm{f}
mathrm{f}
es el conjunto de puntos del plano definido de la siguiente forma:


left{</p><pre> left(, x, , y ,right)in R^2 ,left|, y , = , mathrm{f} left( , x  , right)right.</pre><p>right}
left{</p><pre> left(, x, , y ,right)in R^2 ,left|, y , = , mathrm{f} left( , x , right)right.</pre><p>right}
Ejemplo

La figura de abajo muestra la gráfica de la funcion
mathrm{f} left( , x  , right) , = , frac{x^4}{4}
mathrm{f} left( , x , right) , = , frac{x^4}{4}
y cuatro puntos de la misma:



Imagen:funcion.png
Imagen:funcion.png

Características de una función
Las características mas importantes de una función son:
  1. Dominio y recorrido.
  2. Existencia o no de periodicidad.
  3. Existencia o no de simetrías.
  4. Acotada o no acotada ( superior y/o inferiormente ).
  5. Existencia o no de extremos relativos.
  6. Existencia o no de extremos absolutos.
  7. Puntos de discontinuidad.
  8. Puntos de corte con los ejes de coordenadas.
  9. Signo de la función.
  10. Donde la función es creciente y donde decreciente.
  11. Concavidad y convexidad.
  12. Asíntotas ( horizontales, verticales y oblicuas ).
La representación gráfica de una función se lleva a cabao para visualizar de golpe las características mas importantes de dicha función, por eso, antes de dibujar la gráfica de la función es importante determinar analiticamente cuales son esas características.

POR: JULIAN FLOREZ


Categoría: Matemáticas

SISTEMA DE COORDENADAS
En la mayoría de estudios es necesario efectuar medidas con factores que intervienen en fenómenos. Estos datos, en lo posible, se presentan por medio de representaciones gráficas que pueden ser en una dimensión, dos dimensiones o tres dimensiones.



Una dimensión
Dos dimensiones
Tres dimensiones



LAS VARIABLES EN UN EXPERIMENTO
En un experimento influyen muchos factores. A estos factores se les conocen como variables. Una vez que se identifican las variables que intervienen en el experimento, se clasifican en variables constantes, dependientes, e independientes.
Una variable cuyos valores dependen de la otra variable se llama variable dependiente y a la otra se le llama variable independiente.
Ejemplo.


En el alargamiento de un resorte, cuando se suspende una masa por su extremo la longitud de alargamiento es la variable dependiente y la masa es la variable independiente y la masa del resorte es la variable constante.
Hay momento en que se puede tener más de una variable cuyo cambio afecta a la variable dependiente. Por ejemplo, para estudiar el comportamiento del volumen de un gas este depende de la presión que se le ejerza y de la temperatura a la cual se encuentre.

FUNCIONES Y GRAFICAS

POR:MILADYS VILLEGAS



RELACIONES FUNCIONALES :


Una función es una relación de causa-efecto entre dos cantidades matemáticas: a iguales causas, iguales efectos.

La causa se denomina variable independiente y se denota con la letra x. El efecto es la variable dependiente, que se indica con la letra y.

Frecuentemente, en lugar de la letra y se utiliza la expresión f(x) (o g(x), ...) para dar a entender que y efectivamente depende del valor de x.

EJEMPLO: El área de un polígono regular es función de la medida del lado.

Variable independiente: x=longitud del lado

Variable dependiente: y= área del polígono

Gráfica de una función:


Para obtener la gráfica de una función a partir de la tabla de valores primero se dibujan unos ejes de coordenadas, representándose los valores de la variable independiente (x) en el eje horizontal (abscisas) y los de la variable dependiente (y) en el vertical (ordenadas). Cada pareja de valores de las variables dependiente e independiente se representa mediante un punto (x,y) en el sistema de coordenadas.
Los puntos dibujados se unirán si la variable independiente puede tomar cualquier valor real en el rango estudiado: la línea (recta o curva) que resulta
es la gráfica de la función.



external image tabla%2003.JPG

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCION:


Dominio y recorrido


- El dominio de una función es el conjunto de valores de x que tienen imagen.
-El recorrido o imagen es el conjunto de valores de y que son imagen de algún valor de x perteneciente al dominio

Continuidad:


A veces, la gráfica de una función puede dar un salto en vertical en algún punto de su dominio. En ese punto se dice que la función no es continua. Por lo tanto, una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin necesidad de levantar el lápiz del papel en ningún momento. Los puntos donde la gráfica da un salto se denominan discontinuidades de la función.

Puntos de corte con los ejes:

El punto donde la gráfica corta el eje de ordenadas es de la forma (0,y0), donde y0 es la imagen de cero. Si el cero está en el dominio de la función, entonces
hay punto de corte con el eje de ordenadas y éste es único. El punto (o los puntos) de corte con el eje de abscisas son de la forma (x0,0), donde x0 es la
anti imagen (o antiimágenes) de cero. Habrá punto de corte con el eje de abscisas si el cero está en el recorrido de la función. En ese caso puede suceder que haya más de un punto de corte.


Crecimiento y decrecimiento:


Se dice que una función es creciente en un punto si, alrededor de ese punto, cuando la x aumenta también aumenta la y.Y será decreciente si al aumentar la x disminuye el valor de y. Si una función es creciente en un punto entonces, alrededor de él, la gráfica, vista de izquierda a derecha, asciende. Si desciende, es que es decreciente. Si la función toma el mismo valor alrededor de un punto (la gráfica se mantiene sin subir ni bajar), entonces se dice que allí la función es constante.


Máximos y mínimos:


Un máximo local (o relativo) es un punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente. Ese punto no tiene por qué ser el punto más alto de la gráfica de la función. Este último (si es que existe) se denomina máximo absoluto. De manera similar, en un punto donde la función pasa de decrecer a crecer se dice que hay un mínimo Local. El punto del dominio donde la imagen es menor se denomina mínimo absoluto.

Periodicidad:


A veces la gráfica de una función va repitiendo el mismo dibujo una y otra vez a medida que la x va aumentando. En este caso se dice que la función es periódica. La longitud, medida sobre el eje horizontal, del dibujo que se va repitiendo se denomina período: cada vez que a un valor cualquiera de x se le suma el período se vuelve a obtener la misma imagen.

POR DANIELA ARBOLEDA




FUNCIONES Y GRÁFICAS

  • Las funciones permiten describir el mundo real en términos matemáticos, como por ejemplo, las
    variaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas, las ondas cerebrales, los ciclos
    comerciales, el ritmo cardíaco, el crecimiento poblacional, etc.
    En esta sección se tratarán las funciones más usuales en la modelización de fenómenos en
    aplicaciones en las distintas ciencias y en la vida diaria, y sus características generales, tanto
    analíticas como gráficas. Específicamente se revisarán las funciones polinomiales y racionales,
    las funciones exponenciales y logarítmicas, y las funciones periódicas.
    1.1. Funciones
    En muchas situaciones encontramos que dos o más objetos o cantidades están
    relacionados por una correspondencia de dependencia, como por ejemplo: el área de un círculo
    depende del radio del mismo, la temperatura de ebullición del agua depende de la altura del lugar,
    la distancia recorrida por un objeto al caer libremente depende del tiempo que transcurre en cada
    instante. Esto nos conduce al concepto matemático de función.
    Definición de función
    Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cada
    elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado
    imagen de x por f, que se denota y=f (x). Curso: Modelos matemáticos y funciones Magister en enseñanza de las ciencias,
    mención matemática
    2
    Universidad de Talca Profesores: Juanita Contreras S.
    Instituto de Matemática y Física Claudio del Pino O.
    En símbolos, se expresa f : A → B , siendo el conjunto A el dominio de f, y el conjunto B el
    codominio
    Nociones básicas y notaciones
    Sea f : A → B .
    1) La notación y = f (x) señala que y es una función de x. La
    variable x es la variable independiente, y el valor y se llama
    variable dependiente, y f es el nombre de la función.
    2) Leonard Euler (1707-1783) dio una definición precisa de función
    e introdujo en 1734 el símbolo f(x) para designar la imagen de x
    por una función f.
    3) El conjunto de todas las imágenes de los elementos de A a través
    de f se denomina Recorrido de f, y se denota Rec(f).
    L.Euler
    4) Igualdad de funciones. Sean f y g dos funciones definidas de A en B. Se tiene que:
    f = g ⇔ f(x) = g(x) para todo x ∈ A
    Luego, dos funciones f y g son distintas, si y sólo si, existe x∈ A tal que f (x) ≠ g(x) .
    5) Composición de funciones.
    Sean f : A → B y g :C → D . La función compuesta g o f está definida siempre y
    cuando Re c( f ) ⊆ C , y se define:
    (g o f )(x) = g( f (x)), para todo x ∈ A
    1.2. Funciones reales
    Una función real en una variable x es una función f : A → IR donde A ⊆ IR, que
    usualmente se define por una fórmula y = f(x).
    Nota. En general, para definir una función real se usan las letras x e y para representar las
    variables independiente y dependiente, respectivamente. En modelos de aplicaciones se usan
    letras relacionadas con el nombre de las magnitudes involucradas en el problema. Curso: Modelos matemáticos y funciones Magister en enseñanza de las ciencias,
    mención matemática
    3 Universidad de Talca Profesores: Juanita Contreras S.
    Instituto de Matemática y Física Claudio del Pino O.
    Representaciones de una función real .
    Una función real, en general, puede ser representada de distintas maneras:
    • Mediante un conjunto de pares ordenados, o tabla de valores.
    • Mediante una expresión verbal, donde se describe una regla con una descripción
    en palabras.
    • Mediante una expresión algebraica, con una fórmula explícita.
    • Mediante una gráfica, representada en un sistema de coordenadas cartesianas.


POR MARIANA ROBLEDO GARCÍA





FUNCIONES Y GRÁFICAS

En matemáticas, la gráfica de una función:
begin{array}{rccl}f: & X & longrightarrow & Y & x & longmapsto     & y= f(x)end{array}
begin{array}{rccl}f: & X & longrightarrow & Y & x & longmapsto & y= f(x)end{array}

es la visualización de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación iconográfica. También puede definirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.
Las únicas funciones que se pueden visualizar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema decoordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una curva.
En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes de la función para los que los valores de todas las variables excepto dos permanezcan constantes.
El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.
FunEsc Definición 01.svg
FunEsc Definición 01.svg

expresión o en una gráfica.

  • La gráfica de la función
f(x)=left{begin{matrix} a, & mbox{si }x=1  b, & mbox{si }x=2  c, & mbox{si }x=3. end{matrix}right.
f(x)=left{begin{matrix} a, & mbox{si }x=1 b, & mbox{si }x=2 c, & mbox{si }x=3. end{matrix}right.
es {(1,a), (2,b), (3,c)}.

  • La gráfica del polinomio cúbico en la recta real



Si f es una función real, a cada par (x, y)

(x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y)

P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.
x
1
2
3
4
5
f(x)
2
4
6
8
10
gráfica
gráfica

Grafo de una funciónGrafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes correspondientes.
G(f) = {x, f(x) /x
pertenece
pertenece
D(f)}

Sistema de coordenadas cartesianasUn sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas.
Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen.

POR : VALENTINA PARRA URAN



FUNCIONES Y GRÁFICAS POR: LEIDY MURIEL HURTADO

En este capitulo estudiamos las propiedades de funciones, para lo cual

usamos métodos algebraicos y gr´aficos que incluyen la localizaci´on de puntos,

determinan ´on de simetría y desplazamientos horizontales y verticales.

Introducimos un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas en

un plano por medio dos rectas coordenadas perpendiculares llamadas ejes

coordenados, que se cortan en el origen O (ver figura). La recta horizontal

recibe el nombre de “eje x”y la vertical el de “eje y”; se indican con X e Y

respectivamente. Con lo anterior, se trata de un plano coordenado o plano xy.

Los ejes coordenados lo dividen en cuatro partes llamadas primero, segundo,

tercero y cuarto cuadrantes (ver figura; I, II, III, IV). Los puntos de los ejes

no pertenecen a cuadrante alguno.
A cada punto P de un plano xy se le puede asignar un par ordenado (a; b),

seg´un se aprecia en la figura siguiente. El primer elemento del par ordenado

es llamado la coordenada x (o absisa) de P y el segundo elemento del par

ordenado es llamado la coordenada y (u ordenada) de P. Decimos que P

tiene coordenadas (a; b) y nos referimos al punto (a; b) o al punto P(a; b). A

1la inversa, todo par ordenado (a; b) determina al punto P con coordenadas a

Podemos utilizar el teorema de Pitagoras para definir la distancia entre

dos puntos de un plano coordenado.
Definición ´on 1 La distancia d(P1; P2) entre dos puntos cualesquiera P1(x1; y1)

La formula anterior para defininir la distancia entre dos puntos del plano no

es la única. Otra definici´on es:

d(P1; P2) = maxfjx2 ¡ x1j ; jy2 ¡ y1jg:

Podemos hallar el punto medio de un segmento de recta de P1(x1; y1) a
No tese que la coordenada x del punto medio corresponde al promedio de las

coordenadas x. An´alogamente para la coordenada y.

2Ejemplo: El punto medio M del segmento de recta de P1(¡2; 3) a P2(4; ¡2)

observemos, adicional mente, que la distancia de P1 a M es igual a la distancia

En ocasiones, dos cantidades se relacionan por medio de una ecuación ´on o

formula con dos variables. Por ejemplo y = x

sección, analizaremos c´omo representar geom´etricamente tal ecuaci´on con

una gráfica en un plano coordenado. La gr´afica puede servir para descubrir

propiedades de las cantidades que no eran evidentes en la simple ecuación ´on.

Cada soluciones (a; b) de una ecuación en x y y tiene un punto P(a; b) en

un plano coordenado. El conjunto de todos estos números es la gr´afica de la

Ecuación.

Para trazar la gráfica de la ecuaci´on, ilustramos las caracter´ısticas re -

levantes de la gráfica de un plano coordenado. En casos sencillos se traza

localizando unos cuantos puntos, si los hay. Con una ecuaci´on complicada,

la ubicación ´on de puntos puede dar muy poca informaci´on sobre la gráfica.





FUNCIONES Y GRAFICAS, POR:KEVIN MATEO VELASQUEZ NOREÑA.


Se ha dicho que en la historia de las Matemáticas el Cálculo introdujo un elemento nuevo: el estudio de los aspectosdinámicos de los problemas. Y dado que lo anterior al Cálculo (también llamado "Análisis Matemático") es el Álgebra, esa afirmación parece ser correcta.

Cuando Jorge Luis Borges llamó al Álgebra: "palacio de pulidos cristales", en pocas palabras dio una definición perfecta de ese arte, que tiene la importancia de un gran edificio; es el resultado de un trabajo de generaciones; y consiste en la observación y comparación de formas estáticas, congeladas. En efecto, la rama de la Matemática que deriva su nombre de la expresión árabe al-abr, "el arte de pasar términos", tiene por objeto la resolución de ecuaciones. Las operaciones son el instrumento para transformar las expresiones matemáticas en otras equivalentes. Por eso, la observación de las formas es de la mayor importancia en esta disciplina. El Álgebra es el arte de descubrir patrones —formas a las que puedan aplicarse determinadas reglas— y de representar expresiones diversas con un mismo símbolo, x.

El Cálculo, en cambio, estudia los problemas en los cuales xpuede adoptar distintos valores. Así se introduce la noción de variable: x es la variable independiente y cualquier magnitud que cambia cuando x cambia se llama variable dependiente (su valor está en función del valor de x). El conjunto de los pares ordenados (x,f(x)) se llama, en general, relación, y, cuando a cada valor x le corresponde un único valor f(x), función.

Las operaciones que estudia el Análisis son distintas de las que estudia el Álgebra. Estas operaciones involucran funciones y dan por resultado funciones. Las más importantes se llaman derivación e integración. Así, existen funciones "derivadas" de otras y funciones "integrales". El Cálculo alcanzó su punto más alto con Leibnitz y Newton, quienes descubrieron cuál era la relación que existía entre las dos operaciones mencionadas: una es la inversa de la otra. Por eso a las funciones integrales se las llama también "primitivas".

En este trabajo se presentan las funciones reales de una variable real, es decir, las relaciones que asignan a cada número real x de un conjunto un único número real f(x). Muchas veces la variable independiente es el tiempo y se representa con el símbolo t. (En este sentido se dice que el Cálculo «estudia los aspectos dinámicos de los problemas» o «resuelve problemas donde los sistemas deben ser vistos como una película, no como una fotografía». Los primeros problemas estudiados eran problemas de la Física o, más precisamente, de la Astronomía.) Sin embargo, la del Cálculo es una aproximación puramente formal: x puede ser el tiempo y f el espacio recorrido (problema de movimiento); x puede ser la temperatura y f la densidad de una sustancia a una presión dada (problema de variación de propiedades físicas);x puede ser el tiempo y f la concentración de cierto componente de una mezcla reactiva (problema de Cinética Química); etc. Más aún, haciendo la identificación cartesiana de los números reales con los puntos geométricos,x podría ser la abscisa de un punto de la base (horizontal) de una figura geométrica de dos dimensiones y f la ordenada (altura) correspondiente. La Geometría Analítica —disciplina fundada por Descartes—, que combina la Geometría y el Álgebra también es inseparable del Cálculo.

Por ser un conjunto de pares ordenados, una función puede ser representada por:

(1) Una fórmula. Por ejemplo, 3 x2 + 1. Para cada x, primer elemento del par, el segundo elemento, f(x), se obtiene reemplazando ese valor de x en la fórmula.

(2) Una tabla como la siguiente:

x
f(x)

-1
4

0
1

1/2
7/4

1
4

2
13

(3) Un esquema con diagramas de Venn:

external image venn.gif

(4) Un gráfico cartesiano:

external image grafico.gif

En lo que sigue, la atención estará puesta en la última forma de presentar las funciones.

"SimpleGraph"

De las muchas herramientas con que contamos para graficar funciones (calculadoras programables con capacidad para mostrar gráficos; programas para computadoras personales; etc.), aquí se describe el uso en línea de "SimpleGraph", uno de los Java Components for Mathematics de David Eck.

En principio el applet muestra un ejemplo, la función: |x|x, es decir "valor absoluto de x elevado al exponente x". En la notación empleada en este programa, esta función se expresa así: abs(x)^x (ver el casillero ubicado inmediatamente debajo del gráfico). Corresponde entonces aclarar cómo se deben escribir las distintas funciones, operaciones y constantes. Esto se hace en las tablas siguientes:

==
función
escritura
escritura
alternativa

valor absoluto
abs(x)


parte entera
pent(x)
trunc(x)

entero inferior
inf(x)
floor(x)

entero superior
sup(x)
ceiling(x)

entero más próximo
próx(x)
round(x)

potencial (exponente n)
x^n


raíz cuadrada
x^(1/2)
sqrt(x)

raíz cúbica
x^(1/3)
cubert(x)

raíz enésima
x^(1/n)


exponencial (base e)
exp(x)
e(x)

exponencial de base b
b^x


logaritmo natural
ln(x)
loge(x)

logaritmo decimal
log(x)
log10(x)

seno
sen(x)
sin(x)

coseno
cos(x)


tangente
tg(x)
tan(x)

secante
sec(x)


cosecante
cosec(x)
csc(x)

arco-seno
arcsen(x)
arcsin(x)

arco-coseno
arccos(x)


arco-tangente
arctg(x)
arctan(x)

seno hiperbólico
senh(x)
sinh(x)

coseno hiperbólico
cosh(x)


tangente hiperbólica
tgh(x)
tanh(x)
==

==|| operación
escritura

adición
+

sustracción
-

multiplicación
*

división
/

potenciación
^n

radicación
^(1/n)

exponenciación (base e)
e^

exponenciación (base b)
b^

logaritmación (base e)
ln

logartimación (base 10)
log
==

==|| constante
escritura

e = 2,7182818…
e

external image pi.gif
= 3,14159…

pi
==

Para hacer uso del applet, tómense en cuenta las siguientes indicaciones:==

==

Mostrar ejemplo: elegir el ejemplo en la lista desplegable ubicada en la parte superior y presionar el botón que se halla a la izquierda.

Establecer intervalos: escribir los intervalos para x(xmín, xmáx) e y (ymín, ymáx) en los casilleros correspondientes y presionar el botón.

Restablecer intervalos: presionar este botón para establecer los intervalos para x e y en [-5,5]. (Una manera alternativa de proceder consiste en señalar el rectángulo que se desea acercar llevando el cursor a un punto del gráfico y moviéndolo luego manteniendo el botón izquierdo del ratón presionado.)

Función nueva: escribir la expresión de la función que se desea graficar en el casillero ubicado a la derecha de "f(x) =" y presionar el botón función nueva.

Valor de la función en un punto: ingresar el valor de la variable independiente en el casillero ubicado a la derecha de "x =". Al lado de "y =" aparecerá el valor correspondiente de la variable dependiente. (Alternativamente se puede mover el botón deslizante.)

Tecla "Intro" (Enter): todas las variables se actualizan. (Si se quiere actualizar sólo alguna —los intervalos, por ejemplo—, presionar el botón correspondiente.)

Ejercicio

Hacer uso del applet para obtener las gráficas de las siguientes funciones en la región que en cada caso se indica:

==|| f(x)
f(x)
xmín
xmáx
ymín
ymáx

[3x2+1]
pent(3x^2+1)
-2
2
-1
12

|senx|
abs(sen(x))
-6*pi
6*pi
-1
2

|x senx|-4
abs(x*sen(x))-4
-15
15
-6
12

e-x cosx
e(-x)*cos(x)
-2
3
-2
3

ex sen10x
e(x)*sen(10*x)
0
1.5*pi
-100
100

|tghx|
abs(tgh(x))
-3
3
-0.5
3

(|x|x)x
(abs(x)^x)^x
-3
3
-2
9

|x|
external image exponente.gif

abs(x)^(x^x)
-3
3
-2
9
==

(Los extremos de los intervalos del eje de las abscisas y del eje de las ordenadas que abarca el gráfico pueden incluir operaciones.)



.